Парадоксы теории вероятности (самые популярные)

Выдержки из книги Г. Секей. "Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике" М., Мир 1990.


Парадокс закона больших чисел Бернулли.

Отношение выпадений герба или решки к общему числу попыток при большом числе бросаний стремится к 1/2. Некоторые игроки уверены, что при серии выпаданий орлов увеличивается вероятность выпадения решки. И в то же время у монет нет памяти, они не знают предыдущие броски и каждый раз вероятность выпадения орла или решки равна 1/2. Даже сли перед этим выпадали 1000 гербов подряд. Не противоречит ли это закону Бернулли?


Парадокс де Муавра.

Как уже сказано было в предыдущем парадоксе, по закону больших чисел Бернулли отношение выпадений герба или решки к общему числу попыток при большом числе бросаний стремится к 1/2. Или, другими словами, количество выпадений орлов равно количеству выпадений решек. С другой стороны, вероятность того, что число гербов в точности равно числу решек, стремится к нулю!

Например, при 6 бросаниях вероятность выпадения трех орлов равна 5/16, при 100 бросаниях вероятность выпадения 50 гербов равна 8%, при 1000 бросаний - 500 гербов - менее 2%, для достаточно больших n вероятность приближенно равна 1/sqrt(pi*n). Попытайтесь объяснить этот парадокс вслед за де Муавром.

Примечание. Так называемая Предельная теорема Муавра-Лапласа применяется для расчетов промышленных, социальных и производственных процессов.

Пуанкаре как-то заметил с сарказмом, что все верят в универсальность нормального распределения: физики верят, потому что думают, что математики доказали его логическую необходимость, а математики верят, так как считают, что физики проверили это лабораторными экспериментами.


Петербургский парадокс.

Монета бросается пока не выпадет решка, если это произойдет на k-м бросании, то игрок плучает 2k долларов из банка. То есть, с каждым бросанием выигрыш удваивается. Вопрос: сколько следует заплатить игроку за участие в игре, чтобы игра стала безобидной (с равными шансами, или средне значение, математическое ожидание выигрыша = 0)?