Теория вероятности в покере!

Надеюсь, вы все помните, что хороший игрок в покер должен знать основы арифметики и теории вероятности. Такие понятия как концы (ауты), соответствующие им шансы на улучшение, плюс шансы банка являются основополагающими в покере. Не буду еще раз рассказывать про основы, а постараюсь дать цифры – вероятности различных событий, а также кое-где расскажу, как они считаются.
Префлоп

Всего в покере возможно 1326 различных комбинаций карманных карт. Первая карта может быть одной из 52, вторая – одна из 51, так как последовательность карт нам не важна (К?9? то же что и 9?К?), то делим на два: 52*51/2=1326. Определенная пара (например, пара тузов) может быть сдана 6 способами (4*3/2), то есть пара тузов будет приходить вам каждую 221 сдачу (6/1326=1:221), а какая-нибудь пара – каждую 17 сдачу (всего 13 разных пар, 221/13=17). Две определенных непарных карты (например, АК) могут быть сданы 16 способами – 4 одномастных (АКs) и 12 разномастных (АКо).
Вероятность получить одномастные карты – 12/51=23,5%, а вероятность получить две карты определенной масти, например, две червы, в четыре раза меньше – 5,9%.
Как посчитать вероятность прихода хотя бы одному из оппонентов определенной карты? Например, нас интересует, какова вероятность, что хотя бы одному оппоненту был сдан туз. Неправильно взять вероятность прихода туза одному игроку (примерно 15% - вероятность прихода определенной карты без учета масти) и умножить ее на количество игроков, при 10 игрока получим вероятность 150%, чего быть в принципе не может. Легче всего найти вероятность, что туз не придет никому, она равна (1-0,15)^n (^n – в степени числа игроков). То есть вероятность, что туз будет сдан хотя бы одному из 10 игроков = 1-0,85^10=81% (дополнение: со мной связался Дмитрий и указал на ошибку. Указанная формула верна при условии, что события независимые, например, сдача ведется из бесконечной колоды. В условиях конечной колоды правильные цифры нам дадут формулы комбинаторики, а по данной формуле ошибка будет расти с ростом игроков. Правильная формула следующая: 1-С(2n,48)/C(2n,52). Где n - число игроков, а С(x,y)=y!/x!/(y-x)! - число сочетаний из x по y. При одном игроке получим те же 15%, а при 10 игроках - почти 87%).
В предыдущем примере мы определяли теоретическую вероятность прихода какой-то карты, попробуем теперь определить вероятность, что у противника есть определенная карта после его ставки. Предположим, что мы сыграли с оппонентом как минимум десяток сдач и видим, что это адекватный игрок в основном следующий префлоп-таблицам. Этот самый игрок входит рейзом из первой позиции (см.позиция). Какова вероятность, что у игрока есть туз, а какова – старшая пара? Предполагаем, что из ранней позиции этот игрок будет рейзить с АА, КК, QQ, JJ, AK, AQ, AJs. Тузы будут в комбинациях АА (6 вариантов), АК (16 вариантов), AQ (16 вариатов), AJs (4 варианта), старшие пары без туза – KK, QQ, JJ (по 6 вариантов), всего 60 вариантов. Итак, вероятность туза – (6+16*2+4)/60=70%, вероятность старшей пары – 6*4/60=40% (суммарная вероятность более 100%, так как АА мы учли два раза).

Если вы играете турниры и безлимитный холдем, то вам будет интересно узнать сравнительные шансы разных карманных карт выиграть, если игроки идут ва-банк, а значит в любом случае продержатся до вскрытия. Итак, шансы в дуэлях (указанные средние величины, одномастные карты и коннекторы добавляют до пары процентов):
Старшая пара против младшей: 82:18 (близость карт по величине и общие масти могут добавить старшей паре еще 1-2%),
Пара против двух оверкарт: 56:44,
Пара против старшей и младшей карты: 71:29,
Пара против двух младших карт: 83:17,
Две старших карты против двух младших карт: 62:38,
Старшая и младшая карта против двух средних: 56:44,
Первая и третья по величине против второй и четвертой: 63:37.
Флоп

На флопе выкладывается три карты из пяти общих, можно сказать, что большая половина игры уже прошла. Именно вероятности на флопе больше всего интересуют игроков.

Итак, если у вас на руках не пара, то вероятности на улучшение следующие:
Получить одну пару (карта на флопе совпадает с одной из ваших карт) – 26,94%,
Получить две пары (пара на столе плюс третья карта стола совпала с вашей картой) – 2,02%,
Получить две пары (на столе две карты, каждая из которых совпала с вашими) – 2,02%,
Получить трипс (пара на флопе совпала с вашей карманной картой) – 1,35%,
Получить фул-хаус – 0,09%,
Получить каре – 0,01%.
Как видите общие шансы (в данном тексте слово «шансы» является полным синонимом слова «вероятность») на улучшение до пары и лучше составляют 32,4%, и это без учета возможностей стритов и флешей.

Если у вас карманная пара, то шансы на дальнейшее улучшение следующие:
Получить две пары (карманная, плюс пара на столе) – 16,16%,
Получить сет – 10,77%,
Получить фул (пара на столе плюс карта к вашей карманной паре) – 0,74%,
Получить фул (тройка на столе) – 0,25%,
Получить каре – 0,25%.
Если у вас разномастные карманные карты, то вероятность получить флэш-дро 2,25%. Если карманные карты одномастные, то шансы на улучшение следующие:
Получить флэш – 0,84%,
Получить флэш-дро – 10,94%.
Если у вас на руках коннекторы, то шансы улучшиться следующие:

Обратите внимание, в колонке стрит-дро указаны шансы для улучшения до дро с 8 концами (двухсторонний стрит или двойной «дырявый»). Не забывайте, что если у вас на руках карты старшие или младшие, то возможности к построению стрита значительно уменьшаются. С Т9 вы можете построить стриты от КQJT9 до T9876, четыре варианта, а с АК только один стрит АКQJT. То есть при наличие А или 2 любые коннекторы считаются как с тремя «дырками», К или 3 (естественно, в отсутствие вышеупомянутых А или 2) – как с двумя или более «дырками», Q или 4 – как минимум с одной «дыркой».
Для тех, кто хочет разобраться с принципами расчета пара примеров. Итак, вероятность получить именно пару к нашим непарным карманным картам. Для этого одна из трех карт должна совпасть с одной из наших карт (всего таких карт может быть 6), две другие карты не должны совпасть с нашими картами, а также не должны совпасть между собой (иначе будет две пары или лучше). Итак, одну карту (нашу пару) мы можем выбрать 6 способами, другую – 44 способами (52 в колоде, минус 8 карт – наши карманные и совпадающие с ними), третью – 40 способами (52 в колоде, минус 8, минус 4 – вторая выбранная карта и совпадающие с нею). Всего неизвестных карт до флопа – 50, после выкладывания первой карты флопа – 49, второй – 48. Итак, перемножаем вероятности получить первую карту нам в пару, и двух других – не совпадающих с нашими карманными и между собой: 6/50*44/49*40/48=8,98%. Так как нас устроит получение парной карты также второй и третьей по очереди, то полученную вероятность надо умножить на три, получим указанные выше 26,94%.
Как посчитать вероятность получить стрит? Начнем с простейшего примера – коннектор с тремя дырками. Если у нас Т6, то чтобы получить стрит нам помогут только выход трех определенных карт – 7, 8 и 9. Каждой из этих карт в колоде по 4, значит, вероятность, что флоп будет 789 равна 4/50*4/49*4/48=0,0544%. Но нас также устроит флоп 798, 879, 897, 978 и 987 – всего шесть вариантов перестановок карт, то есть полная вероятность получить три нужных карты = 0,0544%*6=0,326%. Как было указано выше, стрит с коннекторами без дырок можно получить четырьмя способами (если у нас 67, то нам помогут Т98, 985, 854, 543), то есть расчетную вероятность надо просто умножить на 4 и получим искомые 1,31%.
Ривер


Вероятности для терна мало кому интересны, поэтому его пропускаем, посмотрим на вероятности собрать определенную комбинацию на ривере, к концу игры. Сразу скажу, что методика вычислений аналогична подсчетам для флопа, просто значительно усложняется за счет добавления еще двух карт. Итак, если у вас на руках не пара, то вероятность собрать к концу игры одну из комбинаций следующая (данные на основе моделирования, а не точных расчетов по формулам):
Получить одну пару – 46%,
Получить две пары – 22%,
Получить тройку – 4,5%,
Получить фул – 2,2%,
Получить каре – 0,1%.
Если у вас карманная пара, то шансы на улучшение к вскрытию:
Получить две пары – 40%,
Получить сет – 12%,
Получить фул – 8,5%,
Получить каре – 0,84%.
Если у вас разномастные карманные карты, то вероятность получить флэш 2%, если карманные карты одномастные, то вероятность собрать флэш 6,6%. Вероятность собрать роял флэш, имея две карманные карты от рояля, 0,05%, вероятность собрать стрит-флэш с одномастными коннекторами – в четыре раза больше.

Если у вас на руках коннекторы, то шансы собрать стрит следующие:
Коннектор без «дырки» (Т9) – 9,1%,
Коннектор с одной «дыркой» (Т – 7,8%,
Коннектор с двумя «дырками» (Т7) – 6,5%
Коннектор с тремя «дырками» (Т6) – 5,1%,
Любые две карты – 3,8%.
Автор:Корешков Юрий.